Laplace-Versuch – Projekte für Arduino und ESP32-Mikrocontroller

Der Mathematiker Laplace beschäftigte sich im 18. Jahrhundert mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der nach ihm benannte Zufallsversuch sagt aus, dass bei einem Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse gleich sind.

Beispiele:

Wird eine Münze geworfen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl fällt, genau 1 zu 2 oder 50%. Natürlich ist dies in der Praxis nicht ganz genau. Viele Faktoren wie zum Beispiel der etwas verschobene Schwerpunkt der Münze beeinflussen das Ergebnis. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto mehr gleicht sich das Ergebnis an die zu erwartende Wahrscheinlichkeit an.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfel eine bestimmte Augenzahl oben liegt, beträgt 1 zu 6 oder gerundet 16,67%. Das Programm soll durch die Steigerung der Anzahl der Würfe zeigen, dass sich die Wahrscheinlichkeit auf ein Ergebnis (die Augenzahl) immer mehr an die zu erwartende Wahrscheinlichkeit von 16,67% angleicht.

So sieht es aus:

Im Kopf des Programms werden die Variablen definiert.
Der setup-Teil startet den Seriellen Monitor, den Zufallsgenerator und gibt einen Hinweis auf das Programm.

// Start mit 10 Durchläufen
double MaxDurchlauf = 10;

// statistische Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln
const double StatistischeWahrscheinlichkeit = 16.67;
String Leerzeichen;

void setup()
{
  Serial.begin(9600);
  
  // auf serielle Verbindung warten
  while (!Serial) {;}

  Serial.println("Laplace-Versuch -> s = Start");
  Serial.println("-----------------------------------------");
  Serial.println("Die Anzahl der W\u00fcrfe wird jeweils verdoppelt!");
  Serial.println("-----------------------------------------");
}

// Start mit 10 Durchläufen

double MaxDurchlauf = 10;

// statistische Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln

const double StatistischeWahrscheinlichkeit = 16.67;

String Leerzeichen;

void setup()

{

Serial.begin(9600);

// auf serielle Verbindung warten

while (!Serial) {;}

Serial.println("Laplace-Versuch -> s = Start");

Serial.println("-----------------------------------------");

Serial.println("Die Anzahl der W\u00fcrfe wird jeweils verdoppelt!");

Serial.println("-----------------------------------------");

}

Der loop-Teil:

void loop()
{
  // alle Variablen 0 setzen
  int Durchlauf = 0;
  int AnzahlEins = 0;
  int AnzahlZwei = 0;
  int AnzahlDrei = 0;
  int AnzahlVier = 0;
  int AnzahlFuenf = 0;
  int AnzahlSechs = 0;

  // Zahlen von 1 bis 6
  int Minimum = 1;
  int Maximum = 7;

  String AnzahlFormat;
  String AbweichungFormat;
  double Abweichung;
  String Zeichen;

  while (Serial.available() > 0)
  {
    // Eingabe im Seriellen Monitor lesen
    char Eingabe = Serial.read();

    // Enter/Senden gedrückt
    if (Eingabe == 's')
    {
      Serial.println("Anzahl der W\u00fcrfe: " + String(MaxDurchlauf));
      Serial.println("------------------------------------------------------------------");

      while (Durchlauf < MaxDurchlauf)
      {
        int Zahl = ZufallsZahl(Minimum, Maximum);

        // Anzahl der Wuerfe speichern
        if (Zahl == 1) AnzahlEins ++;
        if (Zahl == 2) AnzahlZwei++;
        if (Zahl == 3) AnzahlDrei++;
        if (Zahl == 4) AnzahlVier ++;
        if (Zahl == 5) AnzahlFuenf ++;
        if (Zahl == 6) AnzahlSechs ++;

        Durchlauf ++;
      }

      // Ergebnis berechnen und formatieren
      // 1
      /*
        Anzahl Leerzeichen ergaenzen
        < 10 -> 3 Leerzeichen
        > 10 und < 100 -> 2 Leerzeichen
        > 100 kein Leerzeichens
        > 10.000 nicht möglich, maximale Durchlaeufe = 20.000
      */
      Leerzeichen = "";

      if (AnzahlEins < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlEins < 100 && AnzahlEins > 9) Leerzeichen = " ";

      // % berechnen und als String formatieren
      AnzahlFormat = String(AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100);

      // . durch , ersetzen
      AnzahlFormat.replace(".", ",");

      // wenn %-Wert < 10 -> Leerzeichen ergaenzen
      if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

      // Abweichung von der zu erwartenden Wahrscheinlichkeit in % berechnen
      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100;

      /*
        die Berechnung der Abweichung hat als Ergebnis eine negative Zahl, wenn
        das Ergebnis nach oben von 16,67 abweicht und eine positive Zahl, wenn das Ergebnis
        unten abweicht
        die Abweichung soll so formatiert werden, dass
        -  die Differenz von einem niedrigen Wert als 16,67 bis 16,67
           mit dem Vorzeichen - angezeigt wird
        -  die die Differenz von einem höheren Wert als 16,67 bis 16,67
           mit dem Vorzeichen + angezeigt wird
      */
      if (AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        /*
          %-Wert < 16.67
          Wert für Abweichung soll negativ werden
          Vorzeichen - char(43) setzen
        */
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }

      // %-Wert > 16,67 -> Vorzeichen + char(45) setzen
      else Zeichen = char(45);

      // Abweichung in String umwandeln und . durch , ersetzen
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");

      // wenn Wert < 10 -> Leerzeichen ergaenzen
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

      // Ergebnis anzeigen mit \t = Tabulator formatieren
      Serial.print("Anzahl 1: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlEins));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      
      // 2
      Leerzeichen = "";
      if (AnzahlZwei < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlZwei < 100 && AnzahlZwei > 9) Leerzeichen = " ";
      AnzahlFormat = String(AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100);
      AnzahlFormat.replace(".", ",");
      if (AnzahlFormat.length() < 2) AnzahlFormat = AnzahlFormat + " ";

      if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;
      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100;

      if (AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }
      else Zeichen = char(45);
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";
      Serial.print("Anzahl 2: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlZwei));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      
      // 3
      Leerzeichen = "";

      if (AnzahlDrei < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlDrei < 100 && AnzahlDrei > 9) Leerzeichen = " ";
      AnzahlFormat = String(AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100);
      AnzahlFormat.replace(".", ",");
      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100;

      if (AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }
      else Zeichen = char(45);
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";
      Serial.print("Anzahl 3: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlDrei));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      
      // 4
      Leerzeichen = "";

      if (AnzahlVier < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlVier < 100 && AnzahlVier > 9) Leerzeichen = " ";

      AnzahlFormat = String(AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100);
      AnzahlFormat.replace(".", ",");

      if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;
      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100;

      if (AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }
      else Zeichen = char(45);
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";
      Serial.print("Anzahl 4: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlVier));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      
      // 5
      Leerzeichen = "";
      if (AnzahlFuenf < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlFuenf < 100 && AnzahlFuenf > 9) Leerzeichen = " ";

      AnzahlFormat = String(AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100);
      AnzahlFormat.replace(".", ",");

      if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;
      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100;

      if (AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }
      else Zeichen = char(45);
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";
      Serial.print("Anzahl 5: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlFuenf));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      
      // 6
      Leerzeichen = "";

      if (AnzahlSechs < 10) Leerzeichen = "  ";
      if (AnzahlSechs < 100 && AnzahlSechs > 9) Leerzeichen = " ";

      AnzahlFormat = String(AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100);
      AnzahlFormat.replace(".", ",");
      if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

      Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100;

      if (AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)
      {
        Abweichung = Abweichung * - 1;
        Zeichen = char(43);
      }
      else Zeichen = char(45);
      AbweichungFormat = String(Abweichung);
      AbweichungFormat.replace(".", ",");
      if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";
      Serial.print("Anzahl 6: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlSechs));
      Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");
      Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");
      Serial.println("------------------------------------------------------------------");

      if (MaxDurchlauf < 20000) MaxDurchlauf = MaxDurchlauf * 2;
      else MaxDurchlauf = 10;
    }
  }
}

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void loop()

{

// alle Variablen 0 setzen

int Durchlauf = 0;

int AnzahlEins = 0;

int AnzahlZwei = 0;

int AnzahlDrei = 0;

int AnzahlVier = 0;

int AnzahlFuenf = 0;

int AnzahlSechs = 0;

// Zahlen von 1 bis 6

int Minimum = 1;

int Maximum = 7;

String AnzahlFormat;

String AbweichungFormat;

double Abweichung;

String Zeichen;

while (Serial.available() > 0)

{

// Eingabe im Seriellen Monitor lesen

char Eingabe = Serial.read();

// Enter/Senden gedrückt

if (Eingabe == 's')

{

Serial.println("Anzahl der W\u00fcrfe: " + String(MaxDurchlauf));

Serial.println("------------------------------------------------------------------");

while (Durchlauf < MaxDurchlauf)

{

int Zahl = ZufallsZahl(Minimum, Maximum);

// Anzahl der Wuerfe speichern

if (Zahl == 1) AnzahlEins ++;

if (Zahl == 2) AnzahlZwei++;

if (Zahl == 3) AnzahlDrei++;

if (Zahl == 4) AnzahlVier ++;

if (Zahl == 5) AnzahlFuenf ++;

if (Zahl == 6) AnzahlSechs ++;

Durchlauf ++;

}

// Ergebnis berechnen und formatieren

// 1

Anzahl Leerzeichen ergaenzen

< 10 -> 3 Leerzeichen

> 10 und < 100 -> 2 Leerzeichen

> 100 kein Leerzeichens

> 10.000 nicht möglich, maximale Durchlaeufe = 20.000

Leerzeichen = "";

if (AnzahlEins < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlEins < 100 && AnzahlEins > 9) Leerzeichen = " ";

// % berechnen und als String formatieren

AnzahlFormat = String(AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100);

// . durch , ersetzen

AnzahlFormat.replace(".", ",");

// wenn %-Wert < 10 -> Leerzeichen ergaenzen

if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

// Abweichung von der zu erwartenden Wahrscheinlichkeit in % berechnen

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100;

die Berechnung der Abweichung hat als Ergebnis eine negative Zahl, wenn

das Ergebnis nach oben von 16,67 abweicht und eine positive Zahl, wenn das Ergebnis

unten abweicht

die Abweichung soll so formatiert werden, dass

- die Differenz von einem niedrigen Wert als 16,67 bis 16,67

mit dem Vorzeichen - angezeigt wird

- die die Differenz von einem höheren Wert als 16,67 bis 16,67

mit dem Vorzeichen + angezeigt wird

if (AnzahlEins / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

%-Wert < 16.67

Wert für Abweichung soll negativ werden

Vorzeichen - char(43) setzen

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

// %-Wert > 16,67 -> Vorzeichen + char(45) setzen

else Zeichen = char(45);

// Abweichung in String umwandeln und . durch , ersetzen

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

// wenn Wert < 10 -> Leerzeichen ergaenzen

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

// Ergebnis anzeigen mit \t = Tabulator formatieren

Serial.print("Anzahl 1: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlEins));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

// 2

Leerzeichen = "";

if (AnzahlZwei < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlZwei < 100 && AnzahlZwei > 9) Leerzeichen = " ";

AnzahlFormat = String(AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100);

AnzahlFormat.replace(".", ",");

if (AnzahlFormat.length() < 2) AnzahlFormat = AnzahlFormat + " ";

if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100;

if (AnzahlZwei / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

else Zeichen = char(45);

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

Serial.print("Anzahl 2: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlZwei));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

// 3

Leerzeichen = "";

if (AnzahlDrei < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlDrei < 100 && AnzahlDrei > 9) Leerzeichen = " ";

AnzahlFormat = String(AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100);

AnzahlFormat.replace(".", ",");

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100;

if (AnzahlDrei / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

else Zeichen = char(45);

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

Serial.print("Anzahl 3: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlDrei));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

// 4

Leerzeichen = "";

if (AnzahlVier < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlVier < 100 && AnzahlVier > 9) Leerzeichen = " ";

AnzahlFormat = String(AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100);

AnzahlFormat.replace(".", ",");

if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100;

if (AnzahlVier / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

else Zeichen = char(45);

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

Serial.print("Anzahl 4: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlVier));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

// 5

Leerzeichen = "";

if (AnzahlFuenf < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlFuenf < 100 && AnzahlFuenf > 9) Leerzeichen = " ";

AnzahlFormat = String(AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100);

AnzahlFormat.replace(".", ",");

if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100;

if (AnzahlFuenf / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

else Zeichen = char(45);

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

Serial.print("Anzahl 5: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlFuenf));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

// 6

Leerzeichen = "";

if (AnzahlSechs < 10) Leerzeichen = " ";

if (AnzahlSechs < 100 && AnzahlSechs > 9) Leerzeichen = " ";

AnzahlFormat = String(AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100);

AnzahlFormat.replace(".", ",");

if (AnzahlFormat.length() < 5) AnzahlFormat = " " + AnzahlFormat;

Abweichung = StatistischeWahrscheinlichkeit - AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100;

if (AnzahlSechs / MaxDurchlauf * 100 - StatistischeWahrscheinlichkeit > 0)

{

Abweichung = Abweichung * - 1;

Zeichen = char(43);

}

else Zeichen = char(45);

AbweichungFormat = String(Abweichung);

AbweichungFormat.replace(".", ",");

if (AbweichungFormat.length() < 5) Zeichen = Zeichen + " ";

Serial.print("Anzahl 6: \t" + Leerzeichen + String(AnzahlSechs));

Serial.print("\t-> " + AnzahlFormat + "%" + "\t-> Abweichung ");

Serial.println(Zeichen + AbweichungFormat + "%");

Serial.println("------------------------------------------------------------------");

if (MaxDurchlauf < 20000) MaxDurchlauf = MaxDurchlauf * 2;

else MaxDurchlauf = 10;

}

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